悖論(悖論來源于哪里)
1.悖論來源于哪里
悖論[漢語拼音] bèilùn[英文]paradox[簡要解釋] 邏輯學和數(shù)學中的“矛盾命題”[其他詳盡解釋]也可叫“逆論”，或“反論”，是指一種導致矛盾的命題。
悖論有點像魔術(shù)中的變戲法，它使人們在看完之后，幾乎沒有—個不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當把技巧告訴他時，他就會不知不覺地被引進深奧而有趣的數(shù)學世界之中。正因為如此，悖論就成了一種十分有價值的教學手段。
悖論是屬于領(lǐng)域廣闊、定義嚴格的數(shù)學分支的一個組成部分，這一分支以“趣味數(shù)學”知名于世。這就是說它帶有強烈的游戲色彩。
然而，切莫以為大數(shù)學家都看不起“趣味數(shù)學”問題。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學的基礎(chǔ)。
萊布尼茨也寫到過他在獨自玩插棍游戲（一種在小方格中插小木條的游戲）時分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。
馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計算機游戲—生命是英國著名數(shù)學家康威發(fā)明的。
愛因斯坦也收藏了整整一書架關(guān)于數(shù)學游戲和數(shù)學謎的書。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。
這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗相矛盾的數(shù)學結(jié)論，那些結(jié)論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。
即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。
解決悖論難題需要創(chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。 例如比較有名的理發(fā)師悖論：某鄉(xiāng)村有一位理發(fā)師，一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。
這里就產(chǎn)生了問題：理發(fā)師給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原則，他不能給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原則，他就應該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。
1900年前后，在數(shù)學的集合論中出現(xiàn)了三個著名悖論，理發(fā)師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。
這些悖論特別是羅素悖論，在當時的數(shù)學界與邏輯界內(nèi)引起了極大震動。觸發(fā)了數(shù)學的第三次危機。
悖論有三種主要形式。1.一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2.一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。3.一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
悖論有以下幾類：邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計悖論和時間悖論等。歷史上著名的悖論 NO.1 說謊者悖論（1iar paradox or Epimenides' paradox） 最古老的語義悖論。
公元前6世紀古希臘哲學家伊壁孟德 所創(chuàng)的四個悖論之一。是關(guān)于“我正在撒謊”的悖論。
具體為：如果他的確正在撒謊，那么這句話是真的，所以伊壁孟德不在撤謊，如果他不在撒謊，那么這句話是假的，因而伊壁孟德正在撒謊。 NO.2 伊勒克特拉悖論（Eletra paradox） 邏輯史上最早的內(nèi)涵悖論。
由古希臘斯多亞學派提出。它的基本內(nèi)容是：伊勒克特拉有位哥哥奧列斯特回家了.盡管伊勒支持拉知道奧列斯特是她的哥哥.但她并不認識站在她面前的這個男人。
寫成一個推理.即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的這個人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奧列期特是她的哥哥。
站在她面前的人是奧列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道這個人是她的 哥哥。
NO.3 M：著名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。一個理發(fā)師的招牌上寫著： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。
M：如果另外一個人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉?？磥?，沒有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ NO.4 唐·吉訶德悖論 M：小說《唐·吉訶德》里描寫過一個國家.它有一條奇怪的法律：每一個旅游者都要回答一個問題。
問，你來這里做什么？ M：如果旅游者回答對了。一切都好辦。
如果回答錯了，他就要被絞死。 M：一天，有個旅游者回答—— 旅游者：我來這里是要被絞死。
M：這時，衛(wèi)兵也和鱷魚一樣慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯了，就得受絞刑?？墒?，如果他們絞死他，他就說對了，就不應該絞死他。
2.悖論的例子
兩分法悖論 “在你穿過一段距離之前，必先穿過這個距離的一半?！?/p>
意思是說向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點；然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點；要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等，如此類推，以至無窮。由此得出的結(jié)論就是：運動是不可窮盡的過程，運動永遠不可能有開始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個哲學故事。阿基里斯是當時的一個善于長跑的人。
阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜?shù)乃俣葹閎，阿基里斯開始追趕烏龜?shù)臅r候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基里斯可以追上烏龜。
設所需要的時間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數(shù)，x當然可以求得一個解。當然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無窮大。
但是在這個哲學故事里面和這個問題卻毫無關(guān)系，在這個故事里面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當我們引入無限分割的問題時，馬上出現(xiàn)了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經(jīng)超過他的距離。（這不是假設，而是確實應該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結(jié)，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過他的距離后，烏龜在這段時間里也前進了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結(jié)果都是一樣的，在這個過程中，邏輯并沒有犯錯。
我們可以把這樣的思考無限循環(huán)下去，而且烏龜繼續(xù)前進的距離永遠不會是零，雖然趨向無窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結(jié)論：阿基里斯永遠追不上烏龜。 以上的問題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜?shù)墓适轮?，實際涉及到：對有限空間在有限時間內(nèi)以無限速度作無限分割。這個分割實際就是無窮小，我們完全可以規(guī)定這個無窮小等于0，因此只要出現(xiàn)無窮小的現(xiàn)象或情況，我們就可以認為0要出現(xiàn)，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區(qū)別在于，我們認為無窮小是0，而古人認為無窮小是永遠不能等于0。古人他們太認真了，他們會想，無窮小僅僅是無窮小，怎么會是0呢，相反它永遠也不會是0。
實際上無窮小是一個完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實際上還是用有限的方式，去思維無限的對象，或者把有限的事物予以無限化。
飛矢不動 “飛矢不動”：飛著的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運動的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運動，因為如果它動了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運動狀態(tài)。
芝諾問他的學生：“一支射出的箭是動的還是不動的？” “那還用說，當然是動的?！?“確實是這樣，在每個人的眼里它都是動的。
可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師?！?“在這一瞬間里，它占據(jù)的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據(jù)著和自身體積一樣大小的空間?！?/p>
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？” “不動的，老師” “這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？” “也是不動的，老師” “所以，射出去的箭是不動的？” 游行隊伍悖論 游行隊伍悖論是古希臘數(shù)學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運動的不可分性的哲學悖論中的一個，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關(guān)于“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。
這些方法現(xiàn)在可以用微積分（無限）的概念解釋。 首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對于觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。
□□□□□□□□ 觀眾席A ■■■■■■■■隊列B……向右移動 ●●●●●●●● 隊列C……向左移動 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對于觀眾席A,B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。
也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產(chǎn)生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。
錢包悖論 謊言者悖論 集合論悖論 辛普森悖論 蘇格拉底悖論 書目悖論 唐·吉訶德悖論。
3.誰有有關(guān)悖論的故事
【悖論引發(fā)的第三次數(shù)學危機】
1900年，國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……” 可是，好景不長。 羅素構(gòu)造了一個集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
4.悖論的例子
我在說謊
你說呢
自相矛盾就是一個
城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉
那么誰給這位理發(fā)師刮臉呢？
殺手的悖論
我是個殺手，這個秘密只能讓我的雇主知道，否則官府會將我抓起來法辦。在開始
我的殺手生涯之前，我意識到這是個地下工作，保密要求高，我不能當街叫賣、不能自
插草簽；但我又得讓我的潛在雇主知道我的存在，不然我接不到生意。
還有：
一位調(diào)查員受托去A、B、C三所中學調(diào)查學生訂閱《中學生數(shù)學》的情況，他很快統(tǒng)計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調(diào)查也得出同樣的結(jié)果.于是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調(diào)查數(shù)據(jù)看，中學生中男生訂閱《中學生數(shù)學》的比例比女生大.后來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統(tǒng)計復核，匪夷所思的事情發(fā)生了，這時他得出的統(tǒng)計結(jié)果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數(shù)學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎么會是這樣呢？這就象在玩一個魔術(shù)，少的變多了，多的變少了.你能幫他找找原因嗎？
一位美國數(shù)學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法.方法是，兩個人把身上的錢都掏出來，數(shù)一數(shù)，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢.賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸?shù)暨@些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多于我?guī)У腻X數(shù)的錢，所以我贏的肯定要比輸?shù)亩?而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試.賭徒乙的想法與甲不謀而合.于是兩個人都愉快地接受了這位數(shù)學家的建議.看來這真是一種生財有道的賭博.
一位數(shù)學教授告訴學生，考試將在下周內(nèi)某一天進行，具體在星期幾呢？只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的.學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的“只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話就是錯的.因此星期五考試可以排除.那就只可能在星期一到星期四考.既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就只能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的.因此星期四考也被排除了.可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試.學生們推出結(jié)論后都很高興，教授的話已經(jīng)導出矛盾了，輕輕松松地過吧.結(jié)果到了下周的星期二，教授宣布考試，學生們都愣住了，怎么嚴格的推理失效了呢？教授確實兌現(xiàn)了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間.現(xiàn)在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪里呢？
一只螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行.每過1秒鐘，橡皮繩就拉長 100米，比如 10秒后，橡皮繩就伸長為1000米了.當然，這個問題是純數(shù)學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，并且拉伸是均勻的.螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動.現(xiàn)在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端？
5.悖論的例子
兩分法悖論“在你穿過一段距離之前，必先穿過這個距離的一半?！?/p>
意思是說向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點；然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點；要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等，如此類推，以至無窮。由此得出的結(jié)論就是：運動是不可窮盡的過程，運動永遠不可能有開始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個哲學故事。阿基里斯是當時的一個善于長跑的人。
阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜?shù)乃俣葹閎，阿基里斯開始追趕烏龜?shù)臅r候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基里斯可以追上烏龜。
設所需要的時間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數(shù)，x當然可以求得一個解。當然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無窮大。
但是在這個哲學故事里面和這個問題卻毫無關(guān)系，在這個故事里面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當我們引入無限分割的問題時，馬上出現(xiàn)了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經(jīng)超過他的距離。（這不是假設，而是確實應該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結(jié)，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過他的距離后，烏龜在這段時間里也前進了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結(jié)果都是一樣的，在這個過程中，邏輯并沒有犯錯。
我們可以把這樣的思考無限循環(huán)下去，而且烏龜繼續(xù)前進的距離永遠不會是零，雖然趨向無窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結(jié)論：阿基里斯永遠追不上烏龜。 以上的問題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜?shù)墓适轮?，實際涉及到：對有限空間在有限時間內(nèi)以無限速度作無限分割。這個分割實際就是無窮小，我們完全可以規(guī)定這個無窮小等于0，因此只要出現(xiàn)無窮小的現(xiàn)象或情況，我們就可以認為0要出現(xiàn)，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區(qū)別在于，我們認為無窮小是0，而古人認為無窮小是永遠不能等于0。古人他們太認真了，他們會想，無窮小僅僅是無窮小，怎么會是0呢，相反它永遠也不會是0。
實際上無窮小是一個完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實際上還是用有限的方式，去思維無限的對象，或者把有限的事物予以無限化。
飛矢不動“飛矢不動”：飛著的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運動的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運動，因為如果它動了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運動狀態(tài)。
芝諾問他的學生：“一支射出的箭是動的還是不動的？” “那還用說，當然是動的?！?“確實是這樣，在每個人的眼里它都是動的。
可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師。” “在這一瞬間里，它占據(jù)的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據(jù)著和自身體積一樣大小的空間?！?/p>
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？” “不動的，老師” “這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？” “也是不動的，老師” “所以，射出去的箭是不動的？”游行隊伍悖論游行隊伍悖論是古希臘數(shù)學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運動的不可分性的哲學悖論中的一個，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關(guān)于“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。
這些方法現(xiàn)在可以用微積分（無限）的概念解釋。 首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對于觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。
□□□□□□□□ 觀眾席A ■■■■■■■■隊列B……向右移動 ●●●●●●●● 隊列C……向左移動 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對于觀眾席A,B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。
也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產(chǎn)生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。
錢包悖論謊言者悖論集合論悖論辛普森悖論蘇格拉底悖論書目悖論唐·吉訶德悖論。
6.誰能舉幾個有關(guān)悖論的例子
1.克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒謊者。
M：他說的是真的嗎？如果他說的是實話，那么克里特人都是撒謊者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然說了假話。他撒謊了嗎？如果他確實撒了謊，那么克里特人就都不是說謊的人，因而伊壁孟德也必然說了真話。
他怎么會既撒謊，同時又說真話呢？ 伊壁孟德是個半傳奇式的希臘人，他在公元前6世紀住在希臘。有一個神話說他曾經(jīng)一下子睡了57年。
關(guān)于他的上面那段文字，如果我們假定撒謊者總是說假話，不撒謊的人總是說真話，那么就會出現(xiàn)邏輯的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒謊者”這句話不可能是真話，因為這說明伊壁孟德既是撒謊的人，因此他說的就不是真話。
可是這又意味著克里特人是說真話的，那么伊壁孟德說的話也必定是真話，因此上面引的那句話也不可能是假話。 古希臘人曾為此大傷腦筋，怎么會一句話看上去完美無缺，自身沒有矛盾，卻既是真話又是假話呢！一個斯多噶派哲學家，克利西帕斯寫了六篇關(guān)于“說謊者悖論”的論文，沒有一篇成功。
有一位希臘詩人叫菲勒特斯，他的身體十分瘦弱，據(jù)說他的鞋中常帶著鉛以免他被大風吹跑，他常常擔心自己會因思索這些悖論而過早地喪命。在《新約》中，圣·保羅在他給占塔斯的書信中也引述過這段悖論（1:12 – 13）。
2.說謊者悖論 M：我們陷入了著名的說謊者悖論之中。 下面是它的最簡單的形式。
甲：這句話是錯的。 M：上面這個句子對嗎？如果是對的，這句話就是錯的！如果這句話是錯的，那這個句子就對了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普遍得多。
學生們是否能夠解釋，為什么這類悖論采用上述形式表達（即一句話談的正是它本身）就變得清晰起來？這是因為它消除了說謊者是否總是說謊，不說謊者總是說真話。 3。
無窮的倒退 M：機器受到的難題就像人碰到要解答一個古老的謎？。 問題：雞和雞蛋，到底先有哪個？ M：先有雞嗎？不，它必須從雞蛋里孵出來，那末先有雞蛋？不，它必須由雞生下。
好！你陷入了無窮的倒退之中。 雞和雞蛋這個古老的問題是邏輯學家稱為“無窮倒退”的最普通的例子。
老人牌麥片往往裝在一個盒中，上面的畫是一個老人舉著一盒麥片，這個盒上也有一張畫有一個老人舉著一盒麥片的小畫片。自然，那個小盒上又有同樣的畫片，如此以往就像一個套一個的中國盒子的無窮連環(huán)套一樣。
《科學美國人》1965年4月號有一個封面，畫著—個人眼中反映著這本雜志。 你可以看到在反映出的雜志上，也有一個小一點的眼睛，反映出一本更小的雜志，自然這樣一直小下去。
在理發(fā)店里，對面的墻上有很多相向的鏡子，人們在這些鏡子中可以看到反照出的無窮倒退。 4。
理發(fā)師悖論 M：著名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。 一個理發(fā)師的招牌上寫著： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。
M：如果另外一個人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉。看來，沒有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ 伯特納德·羅素提出這個悖論，為的是把他發(fā)現(xiàn)的關(guān)于集合的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。
某些集合看起來是它自己的元素。例如，所有不是蘋果的東西的集合、它本身就不是蘋果，所以它必然是此集合自身的元素。
現(xiàn)在來考慮一個由一切不是它本身的元案的集合組成的集合。這個集合是它本身的元素嗎？無論你作何回答，你都自相矛盾[*]。
在邏輯學歷史上最富戲劇性的危機之一就與這條逆論有關(guān)。 德國的著名邏輯學家哥特洛伯·弗里茲寫完了他最重要的著作《算法基礎(chǔ)》第二卷，他認為他在這本書中確立了一套嚴密的集合論，它可作為整個數(shù)學的基礎(chǔ)。
1902年，當該書付印時，他收到了羅索的信，他得知上面那條悖論。弗里茲的集合論容許由一切不是它自身的元素的集合構(gòu)成的集合。
正如羅素在信中澄清的，這個表面上結(jié)構(gòu)完美的集合卻是自相矛盾的。弗里茲在收到羅素的信后，只來得及插入一個簡短的附言： “一個科學家所遇到的最不合心意的事，莫過于是在他的工作即將結(jié)束時使其基礎(chǔ)崩潰了，我把羅素的來信發(fā)表如下……” 據(jù)說，弗里茲使用的詞“不合心意”（undesirable）是數(shù)學史上最詞不達意的說法了 5。
2.四只貓的性別 M：很容易作出錯誤的概率計算。這兒有兩只貓已住在一起。
V1：親愛的，我們的新房舍中有幾只貓？ V2：你不會數(shù)呀？四只，你這個笨蛋。 V1：幾只雄貓？ V2：很難說，我也不知道呢。
V1：四只貓都是雄的不太可能。 V2：也不可能四只都是雌貓。
V1：也許只有一只是雄貓。 V2：或許只有一只是雌貓。
V1：這也不是很難想出來的，親愛的。每只貓是雄是雌的機會是一半對一半，所以很明顯，最有可能的結(jié)果是兩個雄的，兩個雌的。
你還不能把它們算出來嗎？ M：貓先生的理由對不對？ 讓我們來檢驗它的理論。用B表示雄貓，用G表示雌貓，這就很容易列出十六種同等可能的情。
7.給幾個悖論的例子
如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。
矛盾不可避免。如果事件A發(fā)生，則推導出非A，非A發(fā)生則推導出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環(huán)。
在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛査骸澳憬o不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時無言以對。
這是一個矛盾推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理發(fā)。
反之，如果這個理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據(jù)招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。 “R是所有不包含自身的集合的集合?！?/p>
人們同樣會問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應屬于R。如果R包含自身的話，R又不屬于R。
一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？ “世界上沒有絕對的真理” 我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
在芝諾看來，由于飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什么區(qū)別。那么，無限個靜止位置的總和就等于運動了嗎？或者無限重復的靜止就是運動？中國古代也有類似的說法有學生問他的希臘老師：“什么是詭辯？”老師反問到：“有甲乙兩人，甲很干凈，乙很臟。
如果請他們洗澡，他們中間誰會洗？” 這里有四種可能，一是甲洗，因為他有愛干凈的習慣；二是乙洗，因為他需要；三是兩人都洗，一個是因為習慣，另一個是因為需要；四是兩人都沒洗，因為臟人沒有洗澡的習慣，干凈人不需要洗。這四種可能彼此相悖，無論學生作出怎樣的回答，老師都可以予以反駁，因為他不需要有一個客觀的標準，這就是詭辯。
這是一個可以自圓其說的乩語。它也有四種解釋：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解釋為將來；四是即使父母都去世了，也可以解釋為“父親在的時候，母親就去世了?！?/p>
或者是“父親在母親以前就去世了?！闭媸亲笥曳暝?。
這個命題與“白馬非馬”何其相似，盡管論證的方法和目的不同。荀子把墨辯“殺盜非殺人也”歸入“惑于用名以亂名”的詭辯。
荀子認為，在外延方面“人”的范疇包含了“盜”的范疇。所以，說“盜”的時候，就意味著說他同時也是“人”；殺“盜”也是殺人。
8.求歷史上有名的"悖論"故事或命題.
故事1、有人要哲學家羅素證明從“2+2=5”推出“羅素是教皇”。
聰明的羅素做出了以下的證明： 1） 假定2+2=5; 2） 等式兩邊各減去2，得出2=3; 3） 易位得3=2 4） 兩邊各減去1，得出2=1; 5） 教皇與羅素是兩個人，但既然2=1，教皇與羅素就是一個人，所以羅素是教皇。 ——羅素是教皇的前提是2+2=5，這是一個假設，我們往往認為假設是暫時可以成立的（猜想的含義基本等于假設），許多數(shù)學中的猜想最后都得到了驗證。
但是猜想，也就是說假設在沒有驗證之前它是不成立的，因此在2+2=5沒有得到證明之前，羅素不是教皇，即使2+2=5的假設被證明是成立的，羅素也不是教皇，因為按照“認字的人”先生文中“語言邏輯思維和事實是兩回事”的觀點，2+2=5和羅素=教皇是兩回事，這很容易理解，所以詭辯是建立在一個錯誤的假設的基礎(chǔ)上的。 故事2、古希臘哲學家普羅太哥拉精通法律和詭辯術(shù)，他有個窮學生交不起學費，普羅太哥拉就答應他先免費上學，等他畢業(yè)后打贏第一場官司再付錢。
結(jié)果這個學生畢業(yè)后一直不去打官司，也就總不給普羅太哥拉交錢，普羅太哥拉上法院告了這個學生。可是，這個學生深得真?zhèn)?，詭辯功力和老師不相上下。
學生在法庭上說：如果我輸?shù)暨@場官司，那么我就還沒打贏過官司，也就用不著向老師交錢；如果我贏了這場官司，也就是說，法庭駁回老師的要求，那么我還是不用交錢?？傊?，無論輸贏，我都不用交錢。
對此，老師反駁說：如果學生輸?shù)暨@場官司，既然輸了就說明我的要求是正當?shù)?，那么他就必須交錢；如果他打贏了這場官司，他就贏過了第一場官司，那么他還是必須交錢。 總之，無論輸贏，他都必須交錢。
——在這場訴訟中似乎沒有任何一個法官能夠做出令訴訟雙方都信服的判決，但是只要解決了受教育的目的，以及教育是義務的行為，還是應該得到報酬這樣一個契約關(guān)系，判決就不難做出，而支付報酬的相關(guān)條件必須符合大的契約關(guān)系，所以普羅太哥拉應該勝訴。 故事3、飛箭從甲點飛到乙點，其間必然經(jīng)過無數(shù)個位置，有限的時間內(nèi)決不可能通過無窮多的位點。
補充：如果飛箭能夠通過，它就必須需要使用無窮的時間，而在無窮的時間我們無法證明它是否通過了 ——這個悖論很有意思，它存在前提是在暗示時間與空間是一個共同體，沒有任何的差別，但是我們知道時間和空間雖然是共存的，但卻不是一個“物體”的兩種形式，時間的單位不能等同于空間的單位，時間之所以存在，完全是因為“任何兩個時間點之間都存在一個時間段，而這個時間段上速度的積分就是兩個時間點之間飛箭運動的位移。 ”（摘自[匿名] 塞克斯）因此這個悖論是不成立的。
故事4、在任何一個特定時點（也就是位點），飛箭都是固定不動的，無限個靜止的集合，不可能組成運動。 補充：所以飛箭一直是靜止的。
——這個悖論不成立的原因同上。 故事5、在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。
”有人問他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時無言以對。 ——理發(fā)師的問題在于“不給自己理發(fā)”，不給自己理發(fā)同允許別人給自己理發(fā)是兩個概念。
如果我沒有理解錯的話，“給自己理發(fā)”應該意味著是自己動手理自己的發(fā)，至少具有這樣的含義。所以理發(fā)師可以給所有的不是自己動手理發(fā)的人理發(fā)，也可以允許別人給自己理發(fā)。
故事6、“所有克利特人都說謊 ，他們中間的一個詩人這么說?！?——這個悖論的第一個要點在于詩人也是克利特人之一，第二個要點是悖論的成立被限制在一個固定的時間和空間之內(nèi)，詩人說這句話時可能沒有撒謊，但是不能排除在其他的時間段里沒有撒謊。
還有一個很著名的悖論：有人問上帝，你能不能造一個連自己也舉不動的石頭，如果能，那么就證明你是萬能的，但是你制造出這樣一個石頭自己卻舉不動，你也不是萬能的。 ——這個悖論是建立在上帝是具體存在的這個假設的基礎(chǔ)之上的，而事實上，上帝是人們的一種信仰，他并不是一個真實、客觀的存在。
我們都知道，信仰可以促使人們?nèi)陀^環(huán)境產(chǎn)生作用，但是自己卻什么也做不了，它必須通過一個“代理人”才能實現(xiàn)其價值。讓上帝這個并不具體存在的“概念”來制造一件東西顯然是荒謬的。
關(guān)于時間悖論的故事 一九四五年的一天，克力富蘭的孤兒院里出現(xiàn)了一個神秘的女嬰，沒有人知道她的父母是誰。 她孤獨地長大，沒有任何人與她來往。
直到一九六三年的一天，她莫明其妙地愛上了一個流浪漢，情況才變得好起來?？墒呛镁安婚L，不幸事件一個接一個的發(fā)生。
首先，當她發(fā)現(xiàn)自己懷上了流浪漢的小孩時，流浪漢卻突然失蹤了。其次，她在醫(yī)院生小孩時，醫(yī)生發(fā)現(xiàn)她是雙性人，也就是說她同時具有男女性器官。
為了挽救她的生命，醫(yī)院給她做了變性手術(shù)，她變成了他 。最不幸的是，她剛剛生下的小女孩又被一個神秘的人給綁走了。
這一連串的打擊使他從此一蹶不振，最后流落到街頭變成了一個無家可歸的流浪漢。 直到一九七零年的一天，他醉熏熏地走進了一個名叫[url] 的小酒吧，把他一身不幸的遭遇告訴了一個比他年長的酒吧伙計。
酒吧伙計很同情他，主動提出幫他找到那。
