有關微積分的(請問微積分的)
1.請問微積分的基礎知識
什么是微積分？它是一種數(shù)學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。
無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。
微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。
整個17世紀有數(shù)十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
公元前3世紀，古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。
三國時期的劉徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形。
圓的面積就是無窮多個三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。
這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。 17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學和技術的發(fā)展，不但已有的數(shù)學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關系。
到了17世紀下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎上，英國大數(shù)學家、物理學家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關“流數(shù)術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術和無窮極數(shù)》。
這些概念是力學概念的數(shù)學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，依賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學位移的結果。
因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數(shù)術”基本上包括三類問題。
（l）“已知流量之間的關系，求它們的流數(shù)的關系”，這相當于微分學。 （2）已知表示流數(shù)之間的關系的方程，求相應的流量間的關系。
這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。 （3）“流數(shù)術”應用范圍包括計算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。
牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學和積分學之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數(shù)術”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。
萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確 而德國數(shù)學家萊布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。
萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。
牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達形式采用數(shù)學符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數(shù)學的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號，正像印度——阿拉伯數(shù)碼促進了算術與代數(shù)發(fā)展一樣，促進了微積分學的發(fā)展，萊布尼茨是數(shù)學史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一。
牛頓當時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關鍵之一。
2.微積分的知識
第二講 微積分基本公式教學目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質 難 點：變上限積分的性質與應用重 點：牛頓----萊布尼茲公式由上一節(jié)可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來計算，但利用定義來計算定積分一般是相當復雜和困難的，有時甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計算定積分的簡便方法. 不難注意到下面的事實：設變速直線運動的速度為 ，路程為 ，則在時間區(qū)間 內運動的距離為 ；另一方面，由上節(jié)的分析可知，該距離應為 .由此有 （1）即： 在 上的積分等于它的一個原函數(shù)在 的增量. 這一結論是否具有普遍意義呢？下面來回答這個問題.1.變上限的積分設函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)， ，則 在 上連續(xù)，故積分 存在，稱為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為 . 顯然，對 上任一點 ，都有一個確定的積分值與之對應（圖5-6），所以它在 上定義了一個函數(shù)，記作 .即 . （2）函數(shù) 具有如下重要性質： 定理1 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則由（2） 式定義的積分上限的函數(shù) 在 上可導，且有 . （3）證 當上限在點 處有增量 時， .由于 在此區(qū)間連續(xù)，由積分中值定理得 （ 介于 與 之間）.故 .當 時， . 再由 的連續(xù)性得 .推論 若函數(shù) 在區(qū)間 連續(xù)，則變上限的函數(shù) 是 在 上的一個原函數(shù).由推論可知：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 由此證明了上一章給出的原函數(shù)存在定理.例1 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） ; (2) .解 （1） .(2) .例2 設 均可導，求 的導數(shù).解 .注 是 的復合函數(shù)，它由 ， 復合而成，求導時要用復合函數(shù)求導公式計算， 的導數(shù)計算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型，用洛必達法則求解，故2.牛頓-萊布尼茨公式現(xiàn)在我們來證明對任意連續(xù)函數(shù)與（1）式相應的結論成立.定理2 牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式 如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的一個原函數(shù)，則 （4）證 由于 與 均為 的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質知 .上式中令 ，得 ；再令 ，得 .即 .公式（4）稱為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨立地提出來的，它揭示了定積分與導數(shù)的逆運算之間的關系，因而被稱為微積分基本定理. 這個定理為定積分的計算提供了一種簡便的方法. 在運用時常將公式寫出如下形式： （5）例4 計算 .解 .例5 計算 .解 .例6 計算 .解 .例7 求 .解 由區(qū)間可加性，得. 例8 求正弦曲線 在 上與 軸所圍成的平面圖形（圖5-7）的面積.解 這個曲邊梯形的面積 .例9 設 .求 .解 因為定積分 是一個常數(shù)，所以，可設 =A，故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ，移項后，得 ，所以 .小結：1.變上限的積分 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ，其中 是 的一個原函數(shù)，而原函數(shù)可以用不定積分的方法求得.。
3.微積分知識（具體內容）
函數(shù)的和、差求導法則 函數(shù)的和差求導法則 法則：兩個可導函數(shù)的和（差）的導數(shù)等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和（差）. 用公式可寫為：。
其中u、v為可導函數(shù)。 例題：已知，求 解答： 例題：已知，求 解答：函數(shù)的積商求導法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導法則 法則：在求一個常數(shù)與一個可導函數(shù)的乘積的導數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導記號外面去。
用公式可寫成： 例題：已知，求 解答：函數(shù)的積的求導法則 法則：兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數(shù)。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。
函數(shù)的商的求導法則 法則：兩個可導函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)與分母導數(shù)乘積減去分母導數(shù)與分子導數(shù)的乘積，在除以分母導數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答：不定積分的概念 原函數(shù)的概念 已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內的任一點都有 dF'(x)=f(x)dx， 則在該區(qū)間內就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。
例：sinx是cosx的原函數(shù)。 關于原函數(shù)的問題 函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。
若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？ 我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)， 即：F"(x)=f(x)， 則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)， 故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即：=F(x)+C 例題：求：. 解答：由于，故=不定積分的性質 1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和； 即： 2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來， 即： 求不定積分的方法換元法 換元法（一）：設f(u)具有原函數(shù)F(u),u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù). 即有換元公式： 例題：求 解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。
設u=2x，那末cos2x=cosu,du=2dx，因此： 換元法（二）：設x=g(t)是單調的，可導的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ（t）， 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).（其中g(x)是x=g(t)的反函數(shù)） 即有換元公式： 例題：求 解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元. 設x=asint（-π/2<t<π/2），那末，dx=acostdt，于是有： 關于換元法的問題 不定積分的換元法是在復合函數(shù)求導法則的基礎上得來的，我們應根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習。分部積分法 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導法則得來的。
設函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導公式為： （uv）'=u'v+uv'，移項，得 uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得： ， 這就是分部積分公式 例題：求 解答：這個積分用換元法不易得出結果，我們來利用分部積分法。 設u=x,dv=cosxdx，那末du=dx,v=sinx，代入分部積分公式得： 關于分部積分法的問題 在使用分部積分法時，應恰當?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。
選取u和dv一般要考慮兩點： （1）v要容易求得； （2）容易積出。
4.微積分相關知識
微積分公式 Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x - cot x | + C sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = - cot-1 x sec-1(-x) = - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x Dx sin-1 ()= cos-1 ()= tan-1 ()= cot-1 ()= sec-1 ()= csc-1 (x/a)= sin-1 x dx = x sin-1 x++C cos-1 x dx = x cos-1 x-+C tan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+C cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+C sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+C csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+C sinh-1 ()= ln (x+) xR cosh-1 ()=ln (x+) x≥1 tanh-1 ()=ln () |x| 1 sech-1()=ln(+)0≤x≤1 csch-1 ()=ln(+) |x| >0 Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x dx = 2 ln || + C duv = udv + vdu duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ Dx sinh-1()= cosh-1()= tanh-1()= coth-1()= sech-1()= csch-1(x/a)= sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ C cosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ C tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ →sin3θ= （3sinθ-sin3θ） →cos3θ= （3cosθ+cos3θ） sin x = cos x = sinh x = cosh x = 正弦定理：= ==2R 余弦定理： a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ sin （α±β）=sin α cos β ± cos α sin β cos （α±β）=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin （α+β） + sin （α-β） 2 cos α sin β = sin （α+β） - sin （α-β） 2 cos α cos β = cos （α-β） + cos （α+β） 2 sin α sin β = cos （α-β） - cos （α+β） sin α + sin β = 2 sin （α+β） cos （α-β） sin α - sin β = 2 cos （α+β） sin （α-β） cos α + cos β = 2 cos （α+β） cos （α-β） cos α - cos β = -2 sin （α+β） sin （α-β） tan （α±β）=， cot （α±β）= ex=1+x+++…++ … sin x = x-+-+…++ … cos x = 1-+-+++ ln (1+x) = x-+-+++ tan-1 x = x-+-+++ (1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n = n (n+1) = n (n+1)(2n+1) = [ n (n+1)]2 Γ（x） = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dt β（m, n） =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx。
5.學習微積分學需要哪些基礎知識,越詳細越好,（小學文化,零基礎）
線性代數(shù)：簡單說就是y=ax+b類的函數(shù)，理解斜率a的概念。因為微積分分析是把復雜的曲線用線性的方式去理解，并求解。
三角函數(shù)：簡單的sinx,cosx之類涉及到旋轉就會用到sinx,conx之類。sinx^2+cosx^2=1等
幾何：勾股定理等最簡單最普遍的定力，不需要太深入。
然后就可以開始學習了。上述內容涉及越深越好，不過不需要很深入基礎的理解就可以。
微積分是一種思想，一種對事物的分析方式，當然很復雜的需要很多技巧也就是需要很多數(shù)學函數(shù)等的性質，但理解微積分思想和分析方式不需要那么高深的數(shù)學技巧以及函數(shù)性質。
最重要的是堅持，因為微積分說它玄不玄，說不玄也挺玄的東西?？次蛐粤恕?/p>
還有不要看國內的微積分書籍，可能有很好的，不過我看了幾本都想睡覺，可以這樣理解書上的是文言文“廢話多”，其實在高深的理論能做到用白話說明才是牛B的。所以去網(wǎng)上搜索國外的教學視頻，他們都是實際的題，形象的去描述問題。
