彈性力學(xué)問題的求解方法(彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問題是什么)

1.彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問題是什么

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。

它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機械、化工、航天等工程領(lǐng)域。 彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。

絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當作彈性體處理。

彈性力學(xué)的發(fā)展簡史 人類從很早時就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當時人們還是不自覺的運用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀開始的。

彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過實踐，尤其是通過實驗來探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。

牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。 同時，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動彈性力學(xué)進入第二個時期。

在這個階段除實驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡單構(gòu)件的力學(xué)問題。這些理論在后來都被指出有或多或少的缺點，有些甚至是完全錯誤的。

在17世紀末第二個時期開始時，人們主要研究梁的理論。到19世紀20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論。

柯西在1822~1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運動（平衡）方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，打開了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。 第三個時期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時期。

這一時期的主要標志是彈性力學(xué)廣泛應(yīng)用于解決工程問題。同時在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計算方法。

1855~1858年間法國的圣維南發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，可以說是第三個時期的開始。在他的論文中，理論結(jié)果和實驗結(jié)果密切吻合，為彈性力學(xué)的正確性提供了有力的證據(jù)；1881年德國的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布；1898年德國的基爾施在計算圓孔附近的應(yīng)力分布時，發(fā)現(xiàn)了應(yīng)力集中。

這些成就解釋了過去無法解釋的實驗現(xiàn)象，在提高機械、結(jié)構(gòu)等零件的設(shè)計水平方面起了重要作用，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。 在這個時期，彈性力學(xué)的一般理論也有很大的發(fā)展。

一方面建立了各種關(guān)于能量的定理（原理）。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計算、數(shù)值計算和其他計算方法，如著名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問題開辟了道路，推動了力學(xué)、物理、工程中近似計算的蓬勃發(fā)展。

從20世紀20年代起，彈性力學(xué)在發(fā)展經(jīng)典理論的同時，廣泛地探討了許多復(fù)雜的問題，出現(xiàn)了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學(xué)，考慮溫度影響的熱彈性力學(xué)，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動彈性力學(xué)和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結(jié)構(gòu)彈性理論也開始建立起來。

此外，還建立了彈性力學(xué)廣義變分原理。這些新領(lǐng)域的發(fā)展，豐富了彈性力學(xué)的內(nèi)容，促進了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。

彈性力學(xué)的基本內(nèi)容 彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動（或平衡）規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。

連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數(shù)學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。

求解一個彈性力學(xué)問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。

但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。

數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對稱變形等方面。 在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。

例如，把切應(yīng)力的成對性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調(diào)方程（保證物體變形后連續(xù)，各應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系）發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對于彈性體的某一點的本構(gòu)方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非局部彈性力學(xué)等。