數(shù)學(xué)上的證明方法(高中數(shù)學(xué)常用證明方法)
1.高中數(shù)學(xué)常用證明方法有哪些
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法（簡稱為求差法）和商值比較法（簡稱為求商法）。 2.綜合法利用已知事實（已知條件、重要不等式或已證明的不等式）作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。 5.換元法換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進(jìn)行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。（2）增量換元法：在對稱式（任意交換兩個字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進(jìn)行換元。 6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉（或加進(jìn)）一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。
2.數(shù)學(xué)題證明方法
一、證明方法 設(shè)N為任一大于6的偶數(shù)，Gn為不大于N/2的正整數(shù)，則有： N=(N-Gn)+Gn (1) 如果N-Gn和Gn同時不能被不大于√N的所有質(zhì)數(shù)整除，則N-Gn和Gn同時為奇質(zhì)數(shù)。
設(shè)Gp(N)表示N-Gp和Gp同時為奇質(zhì)數(shù)的奇質(zhì)數(shù)Gp的個數(shù)，那么，只要證明： 當(dāng)N>M時，有Gp(N)>1，則哥德巴赫猜想當(dāng)N>M時成立。 二、雙數(shù)篩法 設(shè)Gn為1到N/2的自然數(shù)，Pi為不大于√N的奇質(zhì)數(shù)，則Gn所對應(yīng)的自然數(shù)的總個數(shù)為N/2。
如N-Gn和Gn這兩個數(shù)中任一個數(shù)被奇質(zhì)數(shù)Pi整除，則篩去該Gn所對應(yīng)的自然數(shù)，由此，被奇質(zhì)數(shù)Pi篩去的Gn所對應(yīng)的自然數(shù)的個數(shù)不大于INT(N/Pi)，則剩下的Gn所對應(yīng)的自然數(shù)的個數(shù)不小于N/2-INT(N/Pi)，與Gn所對應(yīng)的自然數(shù)的總個數(shù)之比為R(Pi): R(Pi)≥（N/2-INT(N/Pi))/(N/2)≥（1-2/Pi）*INT((N/2)/Pi)/((N/2)/Pi) (2) 三、估計公式 由于所有質(zhì)數(shù)都是互質(zhì)的，可應(yīng)用集合論中獨立事件的交積公式，由公式（2）可得任一偶數(shù)表為兩個奇質(zhì)數(shù)之和的表法的數(shù)量的估計公式： Gp(N)≥（N/4-1）*∏R(Pi)-1≥（N/4-1）*∏（1-2/Pi）*∏（1-2Pi/N）-1 (3) 式中∏R(Pi)表示所有不大于√N的奇質(zhì)數(shù)所對應(yīng)的比值計算式的連乘。 四、簡單證明 當(dāng)偶數(shù)N≥10000時，由公式（3）可得： Gp(N)≥（N/2-2-∑Pi）*(1-1/2)*∏（1-2/Pi）-1 ≥（N-2*√N）/8*(1/√N)-1=（√N-2）/8-1≥11>1 (4) 公式（4）表明：每一個大于10000的偶數(shù)表為兩個奇質(zhì)數(shù)之和至少有11種表法。
經(jīng)驗證明：每一個大于4且不大于10000的偶數(shù)都可表為兩個奇質(zhì)數(shù)之和。 最后結(jié)論：每一個大于4的偶數(shù)都可表為兩個奇質(zhì)數(shù)之和。
3.初中數(shù)學(xué)證明技巧
要掌握初中數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關(guān)鍵。
下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來解決問題。一、證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。
*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩個角相等 1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。
*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對應(yīng)角相等。
*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。 10.等于同一角的兩個角相等。
三、證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。 4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。
*11.利用半圓上的圓周角是直角。 四、證明兩直線平行 1.垂直于同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。 3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。
6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。
五、證明線段的和差倍分 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。 4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 六、證明 角的和差倍分 1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。 3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。
七、證明線段不等 1.同一三角形中，大角對大邊。 2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。
八、證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。 九、證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。
2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。 十、證明四點共圓*1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。
*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。 *5.到頂點距離相等的各點共圓 希望對你有所幫助，祝您學(xué)習(xí)進(jìn)步。
