多面體歐拉定理的內(nèi)容是什么，怎么推導出來的？

歐拉公式簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系V+F-E=2這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。歐拉定理的意義（1）數(shù)學規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。定理引導我們進入一個新幾何學領(lǐng)域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。（4）提出多面體分類方法：在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€球面，而能變?yōu)橐粋€環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。歐拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄＃?）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的?！》椒?：計算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ?1800=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)?1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)?3600，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)?1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和：Σα=(V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800 =（V-2）?3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ?3600 =（V-2）?3600 所以 V+F-E=2. 歐拉定理的運用方法（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）復數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設(shè)v為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2pp為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設(shè)一個二維幾何圖形的頂點數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 歐拉定理在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數(shù)問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數(shù)設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那么面數(shù)F＝x＋y棱數(shù)E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點數(shù)V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經(jīng)濟學中的“歐拉定理”在西方經(jīng)濟學里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數(shù)形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話說，產(chǎn)品分配凈盡取決于Q能否表示為一個一次齊次函數(shù)形式。 因為eQ/eL＝MPL＝w/P被視為勞動對產(chǎn)量的貢獻，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因為形式上符合數(shù)學歐拉定理，所以稱為歐拉定理?！就嗬碚撝械臍W拉定理】設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡系個數(shù))歐拉公式在數(shù)學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數(shù)學分支之中。 1、復變函數(shù)論里的歐拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)學聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓撲學里的歐拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍。3、初等數(shù)論里的歐拉公式：歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。歐拉證明了下面這個式子：如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。