中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法都(初中數(shù)學(xué)思想和方法)

1.初中數(shù)學(xué)思想和方法有哪些

所謂數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，他在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想；是在數(shù)學(xué)地提出問題、解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。

初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想方法、分類思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、函數(shù)思想方法、方程思想方法、模型思想方法、統(tǒng)計思想方法、用字母代替數(shù)的思想方法、運(yùn)動變換的思想方法等。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法

山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué) 劉娟娟

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形成的一門科學(xué)。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)也從原始形態(tài)的數(shù)量關(guān)系向抽象化的數(shù)量關(guān)系發(fā)展。在發(fā)展的過程中，不僅建立了嚴(yán)密的理論體系，而且形成了一整套的數(shù)學(xué)思想方法。本文結(jié)合有關(guān)的例題，對數(shù)學(xué)中常用的幾種思想方法作一番探討。

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法就是把抽象的數(shù)學(xué)符號語言和直觀的幾何圖形聯(lián)系起來，把抽象思維與形象思維相結(jié)合，通過“以形助數(shù)” 、“以數(shù)解形” ，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，從而達(dá)到解答目的。

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用甚廣，不僅在解選擇題、填空題中顯示它的優(yōu)越性，而且在解某些抽象數(shù)學(xué)問題時也起到事半功倍的效果?！耙詳?shù)解形” 是解析幾何的主線，“以形助數(shù)” 是數(shù)形結(jié)合的研究重點(diǎn)。如何“以數(shù)轉(zhuǎn)形”是數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵，圖解法是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是近年中、高考重點(diǎn)考查的思想方法之一。下面我們結(jié)合下面的例子作簡單的分析：

例1. 已知 0的實(shí)根個數(shù)為（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 1個或2個或3個

分析： 判斷方程根的個數(shù)就是判斷圖像

兩個函數(shù)圖像，易知兩圖象只有兩個交點(diǎn)，故方程有2個實(shí)根，選（B）。

二、函數(shù)思想方法

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)中起到橫向聯(lián)系和紐帶連結(jié)的主干作用。用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想。這是一種運(yùn)動變化和相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻劃另一種狀態(tài)，把它們過渡到研究變化過程的思想方法。函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質(zhì)等知識更高層次的提煉和概括，是知識和方法在反復(fù)學(xué)習(xí)與運(yùn)用中抽象出來的，且?guī)в杏^念性的指導(dǎo)方法。

函數(shù)的思想就是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)問題。具體來說，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象的交點(diǎn)個數(shù)、最值、極值等）問題，研究后得出所需要的結(jié)論。上面的例1和例2也可以說闡述了這個觀點(diǎn)。而函數(shù)方程思想就是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題，通過解方程（組）或者運(yùn)用方程的性質(zhì)來分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。

必有兩個不相等的實(shí)根。

分析：此題若用常規(guī)解法，求出判別式△是一個關(guān)于a 的一元四次多項(xiàng)式，符號不易判斷。若用函數(shù)思想去分析題意，設(shè)函數(shù)

要證明命題成立，只需證明函數(shù)

的圖象與 軸有兩個交點(diǎn)，由于它的開口向上，只要找到一個實(shí)數(shù)

使即可。比如

故函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點(diǎn)，因此命題成立。

三、轉(zhuǎn)化思想

人們在長期的實(shí)踐中，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，許多數(shù)學(xué)問題的解決形成固定的方法模式和程序，我們把這種既定方法和程序的問題稱為規(guī)范問題。運(yùn)用某些方法或手段，把一個陌生的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為所熟知的、簡單的規(guī)范性數(shù)學(xué)問題來解決的思想方法稱為轉(zhuǎn)化思想方法。轉(zhuǎn)化的原則是化陌生為熟知，化繁雜為簡單，且轉(zhuǎn)化后的問題與原問題等價。數(shù)形結(jié)合的思想方法和函數(shù)的思想方法都是轉(zhuǎn)化思想方法的具體表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的途徑是多樣的，有正面與反面的相互轉(zhuǎn)化，有數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，有客與主的相互轉(zhuǎn)化，有特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化，有升維與降維的相互轉(zhuǎn)化等，總之是要將較難解決的問題轉(zhuǎn)化為易解決的基本問題。提倡立體思維，善于從多角度、多方位和多層次去審視問題，另辟蹊徑是我們解決問題的最好方法。

1.求代數(shù)式的值

這類問題經(jīng)常是給出一個已知方程或代數(shù)式的值，去求另外一個代數(shù)式的值，解決的方法是從已知條件出發(fā)，將已知條件向所要求的結(jié)論轉(zhuǎn)化或者將所要求的目標(biāo)向已知條件轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的。

本例通過一個命題的題設(shè)與結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使他們之間的關(guān)系進(jìn)一步明朗化，從而解決了問題。

2.將函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程（組）問題

通過以上幾例，我們可以看到解數(shù)學(xué)問題的時候，如果能恰當(dāng)合理地把問題轉(zhuǎn)化，則能啟迪思維，簡潔巧妙地解決問題，同時也能加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。

總之，上述的三種數(shù)學(xué)思想方法（即數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想），在解決數(shù)學(xué)問題中具有舉足輕重的作用，它不僅可以把一些直接無法解決或陌生的問題轉(zhuǎn)化為易于解決，熟悉的問題來解，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)工作中，應(yīng)當(dāng)長期不斷地夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，訓(xùn)練學(xué)生的基本解題技能，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想思維。只有這樣，才能使學(xué)生得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，也只有這樣，往往使運(yùn)算簡捷，推理機(jī)敏嚴(yán)密，同時大大提高了學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

3.初中數(shù)學(xué)思想方法主要有哪些

'2.分類討論思想所謂分類討論是指對于復(fù)雜的對象，為了研究的需要.根據(jù)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異性，將對象區(qū)分為不同種類，通過研究各類對象的性質(zhì)，從而認(rèn)識整體的性質(zhì)的思想方式。

在分類討論中要注意標(biāo)準(zhǔn)的同一性.即劃分始終是同一個標(biāo)準(zhǔn)、這個標(biāo)準(zhǔn)必須是科學(xué)合理的；分域的互斥性.即所分成的各類既要互不包含.義要使各類總和等于討論的全集；分域的逐級性，有的問題分類后還可在每，類中丙繼續(xù)分類。運(yùn)用分類討論思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生歸納、總結(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，使之系統(tǒng)化、條理化.并逐步形成一個完整的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這有利于學(xué)生嚴(yán)密、清晰、合理地探索解題思路，提高數(shù)學(xué)思維能力。

在初中數(shù)學(xué)中需要分類討淪的問題主要表現(xiàn)個方而：（扮有的數(shù)學(xué)概念、定理的論證包含多種情況.這類問題需要分類討論。如平面兒何中二角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理、圓冪定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類i寸論（約解含字毋參數(shù)或絕對值符號的為一程、不等式、討論算術(shù)根、正比例和反比例的數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)、，與圖象的開l：]方向等，由于這些參數(shù)的取位不同或要去掉絕對值符號就有不同的結(jié)果.這類問題需要分類討論（3）有的數(shù)學(xué)問題.雖結(jié)論惟一但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同.這類問題也要分類討論3一效形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合是指抽象的數(shù)學(xué)語言與形象直觀的圖形結(jié)合起來.從而實(shí)現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維方式。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時不直觀，形少數(shù)時難人微有些數(shù)最關(guān)系.借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系直觀化、形象化、簡單化，而圖形的一些性質(zhì).借助于數(shù)量的計算和分析.得以嚴(yán)謹(jǐn)化。在初中階段，數(shù)形結(jié)合的形可以是數(shù)軸、函數(shù)的圖象和幾何圖形等等.它們都具有形象化的特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中主要表現(xiàn)在以下兩個方面；（l）以形助數(shù)，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念如教師可以用數(shù)軸上點(diǎn)和實(shí)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系來講清相反數(shù)、絕對值的概念以及比較兩個數(shù)大小的方法；運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)討淪一元三次方程的根以及討論一7乙一次小等式等等（2）以數(shù)助形，幫助學(xué)生簡化解題方法。

初中數(shù)學(xué)中還滲透了類比、歸納、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法這些思想力一法之間，是相互滲透、互相促進(jìn)的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有機(jī)地結(jié)合起來。

4.數(shù)學(xué)的思想方法有二十種有哪些

一、用字母表示數(shù)的思想

這是基本的數(shù)學(xué)思想之一 .在代數(shù)第一冊第二章“代數(shù)初步知識”中，主要體現(xiàn)了這種思想。

例如： 設(shè)甲數(shù)為a，乙數(shù)為b，用代數(shù)式表示：（1）甲乙兩數(shù)的和的2倍：2(a+b)(2)甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的5倍差：2a-5b

二、數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想?！皵?shù)缺形時少直觀，形無數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括.數(shù)學(xué)教材中下列內(nèi)容體現(xiàn)了這種思想。

1、數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系。

2、平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)的關(guān)系。

3、函數(shù)式與圖像之間的關(guān)系。

4、線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數(shù)來反映形。

5、解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數(shù)，這是用代數(shù)方法解決何問題。

6、“圓”這一章中，圓的定義，點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等都是化為數(shù)量關(guān)系來處理的。

7、統(tǒng)計初步中統(tǒng)計的第二種方法是繪制統(tǒng)計圖表，用這些圖表的反映數(shù)據(jù)的分情況，發(fā)展趨勢等。實(shí)際上就是通過“形”來反映數(shù)據(jù)扮布情況，發(fā)展趨勢等。實(shí)際上就是通過“形”來反映數(shù)的特征，這是數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際中的直接應(yīng)用。

三、轉(zhuǎn)化思想 （化歸思想）

在整個初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化（化歸）思想一直貫穿其中。轉(zhuǎn)化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想，它是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。下列內(nèi)容體現(xiàn)了這種思想：

1、分式方程的求解是分式方程轉(zhuǎn)化為前面學(xué)過的一元二次方程求解，這里把待解決的新問題化為已解決的問題來求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。

2、解直角三角形；把非直角三形問題化為直角三角形問題；把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

3、證明四邊形的內(nèi)角和為360度.是把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形的.同時探索多邊形的內(nèi)角和也是利用轉(zhuǎn)化的思想的.

四、分類思想

有理數(shù)的分類、整式的分類、實(shí)數(shù)的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系等都是通過分類討論的。