不定積分的計算方法(求不定積分,一共三種方法)
1.求不定積分,一共三種方法
1、第二類換元積分法
令t=√（x-1），則x=t^2+1,dx=2tdt
原式=∫（t^2+1）/t*2tdt
=2∫（t^2+1）dt
=(2/3)*t^3+2t+C
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常數(shù)
2、第一類換元積分法
原式=∫（x-1+1）/√（x-1）dx
=∫[√（x-1）+1/√（x-1）]d(x-1)
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常數(shù)
3、分部積分法
原式=∫2xd[√（x-1）]
=2x√（x-1）-∫2√（x-1）dx
=2x√（x-1）-(4/3)*(x-1)^(3/2)+C，其中C是你任意常數(shù)
2.常用不定積分公式
不定積分公式為：
在微積分中，一個函數(shù)f 的不定積分，或原函數(shù)，或反導數(shù)，是一個導數(shù)等于f 的函數(shù) F ，即F ′ = f。不定積分和定積分間的關(guān)系由微積分基本定理確定，其中F是f的不定積分。
根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，許多函數(shù)的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這里要注意不定積分與定積分之間的關(guān)系：定積分是一個數(shù)，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數(shù)學上有一個計算關(guān)系。
一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分。
擴展資料：
積分發(fā)展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。
要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長*寬*高求出。
但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
3.求不定積分的幾種運算方法
一、積分公式法
直接利用積分公式求出不定積分。
二、換元積分法
換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。
1、第一類換元法（即湊微分法）
通過湊微分，最后依托于某個積分公式。進而求得原不定積分。
2、注：第二類換元法的變換式必須可逆，并且在相應區(qū)間上是單調(diào)的。
第二類換元法經(jīng)常用于消去被積函數(shù)中的根式。當被積函數(shù)是次數(shù)很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：
(1) 根式代換法，
(2) 三角代換法。
在實際應用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。
三、分部積分法
設(shè)函數(shù)和u,v具有連續(xù)導數(shù)，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu，兩邊積分，得分部積分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。
稱公式⑴為分部積分公式。如果積分∫vdu易于求出，則左端積分式隨之得到。
分部積分公式運用成敗的關(guān)鍵是恰當?shù)剡x擇u,v。
擴展資料：
牛頓-萊布尼茨公式：
定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。這個重要理論就是牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：
如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′（x）=f(x)，那么
即一個定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。
這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系。因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。
參考資料來源：百度百科-不定積分
4.常用不定積分公式
不定積分公式為： 在微積分中，一個函數(shù)f 的不定積分，或原函數(shù)，或反導數(shù)，是一個導數(shù)等于f 的函數(shù) F ，即F ′ = f。
不定積分和定積分間的關(guān)系由微積分基本定理確定，其中F是f的不定積分。 根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，許多函數(shù)的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。
這里要注意不定積分與定積分之間的關(guān)系：定積分是一個數(shù)，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數(shù)學上有一個計算關(guān)系。 一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。
連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分。 擴展資料：積分發(fā)展的動力源自實際應用中的需求。
實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。 要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長*寬*高求出。 但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。
物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
5.不定積分的公式有哪些 最好比較全
原發(fā)布者：xhj1017
常見不定積分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4））∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√（a^2-x^2） dx=arcsin(x/a)+c 16）∫sec^2xdx=tanx+c; 17）∫shxdx=chx+c; 18）∫chxdx=shx+c; 19）∫thxdx=ln(chx)+c;1.∫adx=ax+C(a為常數(shù))2.∫sin(x)dx=-cos(x)+C3.∫cos(x)dx=sin(x)+C4.∫tan(x)dx=-loge|cos(x)|+C=loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx=loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx=loge|sec(x)+tan(x)|+C7.∫sin2(x)dx8.9.∫cos2(x)dx10.11.∫tan2(x)dx=tan(x)-x+C12.∫cot2(x)dx=-cot(x)-x+C13.∫sin(ax)sin(bx)dx14.∫sin(ax)cos(bx)dx15.∫cos(ax)cos(bx)dx16.∫xsin(x)dx=sin(x)-xcos(x)+C17.∫xcos(x)dx=cos(x)+xsin(x)+C18.∫x2sin(x)dx=(2-x2)cos(x)+2xsin(x)+C19.∫x2cos(x)dx=(x2-2)sin(x)+2xcos(x)+C20.∫exdx=ex+C21.
6.不定積分公式
不定積分公式：∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。
不定積分的積分公式主要有如下幾類：
含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√（a2+x^2） (a>0)的積分、含有√（a^2-x^2） (a>0)的積分、含有√（|a|x^2+bx+c） (a≠0)的積分。
含有三角函數(shù)的積分、含有反三角函數(shù)的積分、含有指數(shù)函數(shù)的積分、含有對數(shù)函數(shù)的積分、含有雙曲函數(shù)的積分。
擴展資料：
積分性質(zhì)
1、線性性
積分是線性的。如果一個函數(shù)f 可積，那么它乘以一個常數(shù)后仍然可積。如果函數(shù)f和g可積，那么它們的和與差也可積。
2、保號性
如果一個函數(shù)f在某個區(qū)間上黎曼可積，并且在此區(qū)間上大于等于零。那么它在這個區(qū)間上的積分也大于等于零。如果f勒貝格可積并且?guī)缀蹩偸谴笥诘扔诹悖敲此睦肇惛穹e分也大于等于零。
函數(shù)的積分表示了函數(shù)在某個區(qū)域上的整體性質(zhì)，改變函數(shù)某點的取值不會改變它的積分值。對于黎曼可積的函數(shù)，改變有限個點的取值，其積分不變。
參考資料來源：搜狗百科—積分公式
7.不定積分有哪些常用公式
1）∫0dx=c 不定積分的定義
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本積分公式
14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）∫1/√（a^2-x^2） dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c
16） ∫sec^2 x dx=tanx+c;
17） ∫shx dx=chx+c;
18） ∫chx dx=shx+c;
19） ∫thx dx=ln(chx)+c;
