含絕對值的不等式解法
人教A版普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。
根據(jù)課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用。
一、內(nèi)容與要求
1．回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。
2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。
3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）證明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。
（3）證明：
≥ 。
4．用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：
5．用向量遞歸方法討論排序不等式。
6．了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。
7．會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。
了解當n為實數(shù)時貝努利不等式也成立。
8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。
9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
二、內(nèi)容安排
本專題內(nèi)容分成四講，結構如下圖所示：
本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．
第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎．
本講的第一部分類比等式的基本性質，從“數(shù)與運算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。
第二部分討論了有關絕對值不等式的性質及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數(shù)有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．
絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數(shù)的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如 的函數(shù)的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題。
對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如 或 的不等式的解法，以及形如 或 的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。
第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎內(nèi)容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法．
比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：
另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據(jù)是：當b＞0時，
在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。
在證明不等式的過程中，根據(jù)對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．
證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發(fā)，即假設要證明的結論不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立．
在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法．
教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內(nèi)容對進一步討論不等式提供了思想方法的基礎．
本講的教學內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。
第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用．
柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應用。
在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據(jù)兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。
排序不等式也是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 ．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數(shù)學活動，初步認識排序不等式的數(shù)學意義、證明方法和簡單應用。
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學課程標準正式引入到高中數(shù)學教學中。
第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數(shù)學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。
