百科：神秘而奇妙的幻方（下）

莫斯納幻方
　　根據前文所述，我國南宋著名數學家楊輝是世界上第一個對幻方進行詳盡數學研究并取得豐碩成果的學者。在楊輝所著的《續(xù)古摘奇算法》兩卷中，除了呈現(xiàn)3階幻方的研究成果之外，還構造出4階至10階幻方。書中，楊輝稱4階幻方為“花十六圖”或“四四圖”，并給出了兩個實例（陰、陽兩圖）及陰圖（圖1）的具體構造法，令人嘆為觀止。
　　
　　后人經過研究發(fā)現(xiàn)，楊輝構作的4階幻方中，數字分布的對稱性和均勻性不僅表現(xiàn)在數字之和，甚至還體現(xiàn)在數字的平方和以及立方和方面。
　　1947年，德國學者阿爾弗雷德·莫斯納在《數學評論》上發(fā)表文章《一個神奇幻方》。在這篇文章中，他給出了一個4階幻方（圖2），宣稱這個幻方存在獨特奇妙的性質：
　　首先，第1行和第4行上的數字的平方和相等，即122+132+12+82= 92+162+42+52 =378。類似的，第2行和第3行上數字的平方和也相等，即62+32+152+102= 142+72+22+112=370。因此，幻方上半部和下半部8個數字的平方和相等，即：378+370=748。
　　
　　其次，第1列和第4列上數字的平方和也相等，即 122+62+72+92=82+102+112+52=310。類似的，第2列和第3列上數字的平方和也相等，即 132+32+22+162=12+152+142+42=438。因此，幻方左半部和右半部8個數字的平方和也相等，而且也等于748。
　　第三，兩條對角線上的8個數字以及非對角線上的8個數字的平方和也都等于748。與此同時，兩條對角線上的8個數字以及非對角線上的8個數字的立方和都等于9248。
　　最后，兩條對角線上的數字的平方和以及立方和分別相等;而且，對角線上4個數字的立方和4624竟然還是一個平方數。這個特性是楊輝幻方所不具備的。
　　對“莫斯納幻方”稍加分析，就可發(fā)現(xiàn)，它其實是楊輝4階幻方之陰圖（圖1）的一個變形：把楊輝4階幻方從左側開始算的第2列變?yōu)閳D2右側第1列，圖1左側第1列變?yōu)閳D2右側第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互換。因此，許多專業(yè)人士都認為，“莫斯納幻方”源自楊輝4階幻方。盡管這一說法尚無定論，但應該承認，經過變換以后的“莫斯納幻方”確有過人之處。
　　素數幻方
　　
　　所謂素數幻方，是指幻方中出現(xiàn)的數全都是素數。因為元素必須是素數的限定，所以這種幻方顯然無法滿足從1～n2個連續(xù)自然數的要求。這種非連續(xù)數幻方是由著名科普大師杜德尼在1900年首先提出的?？梢韵胍姡財祷梅降目量桃笾率蛊錁嬙炱饋矸浅＠щy。當然，這并不意味著構造素數幻方無跡可循。杜德尼自己就給出一個3階素數幻方（圖3），幻和為111。其后，又有人構造出4階素數幻方（圖4），幻和為102。
　　必須指出，在20世紀初，1還被當作素數，所以這兩個幻方中都包含1。自從明確1不是素數以后，人們又重新構造了3階和4階的素數幻方（圖5、6），幻和分別為177和120。頗有意趣的是，不管是否把1當成素數，能構成3階素數幻方的幻方常數總是大于4階的。
　　
　　除此之外，幻方研究者還成功構造出一些特別的素數幻方（圖7、8）。在圖7的這個3階素數幻方中，最小的素數是59，最大的素數是659，其他素數的末位數字都是9，仿佛珍品標簽一般饒有趣味。圖8中的素數末位數字不僅和圖7一樣，而且9個元素還構成等差數列，公差為210，這就更難能可貴了。
　　不難看出，這些幻方中的素數并不連續(xù)，所以人們又開始琢磨能否用9個連續(xù)素數構成3階幻方。難度可想而知，世界數學科普大師馬丁·加德納還曾為此懸賞100美元，獎給首位成功者。這筆獎金最終被一位名叫哈里·尼爾遜的計算機專家獲得。他利用美國加利福尼亞大學的一臺克雷超級計算機，通過程序設計攻克了這個難題，而且一次性提供了22個答案。
　　
　　圖9就是其中和常數最小的一個3階素數幻方。在這個幻方中的9個連續(xù)素數，每個都已經超過14.8億。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎經過長期不懈努力，于1979年11月7日終于構造成一個高達10階的素數幻方，其中的元素竟然全是連續(xù)素數，中間也沒有跳過一個。如此難得的機巧，簡直可以用玄之又玄和匪夷所思來形容。也難怪此幻方一經問世就震動業(yè)界，被公認為是幻方研究中的一個重要里程碑。
　　玉掛幻方
　　
　　
　　1986年，在上海浦東陸家嘴附近發(fā)現(xiàn)的古墓中，出土了一塊玉掛。玉掛的反面刻著16 個古代阿拉伯數字。經過專家破譯還原，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)，這竟然是一個4階幻方（圖10）。
　　看起來，這個玉掛中的數字秘密——構成4階幻方已然揭曉;但數學家研究發(fā)現(xiàn)，其中充滿玄機的神奇特性遠不止于此。只要稍加計算驗證，就能領會“玉掛幻方”超凡脫俗和奇妙獨特的個性：在這個幻方中，每行、每列及對角線上4個數字之和都等于34。更為特別的是，即便包括“折斷”后連成的對角線，每條對角線上的4個數字之和仍是34。比如：14+12+5+3=34，13+16+4+1=34;5+9+12+8=34，11+13+4+6=34等。顯然，只有在這種情況下，對角線才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有這種性質的幻方被稱為“完全幻方”。任何一個3階幻方都不具備這個特性，這是由于完全幻方最起碼要4階。
　　
　　在這個幻方中，取出任何一個2×2的小正方形，其中的4個數字之和竟然也都等于34。要達成此點殊為不易，從而更顯卓爾不群。
　　在這個幻方中，任何一個3×3小正方形，其四角數字之和也都等于常數34。如此一而再、再而三的非凡特性，簡直叫人拍案叫絕。
　　如若將此幻方看成象棋棋盤進行飛“象”，那么，不管“象”從哪一點出發(fā)飛到哪一點，這兩個點所對應的數字（同左下或同右下）之和都等于17。這就更如天外飛仙，妙不可言了。
　　無獨有偶，倫敦的南凱星頓大英博物館里，也收藏了一件在印度傳教的弗洛斯特牧師的特殊遺物——一塊精美的玉掛。據稱，他難得閑暇中的唯一消遣就是研究幻方。
　　這塊玉掛上的咒語和圖案盡管晦澀難懂，但經過破譯，確認了其為由1～64組成的幻和為260的8階幻方（圖11）。但當初，人們并沒有完全領會其中的精妙，其中最為玄妙和神奇的特性，竟然與國際象棋中馬、象的走法有關。為直觀說明，把幻方擴倍延展并截取如下（圖12）：
　　
　?。?）國際象棋中馬的走法是“一直一拐”，類似于中國象棋中的“馬走日字”;而且同樣，上下左右不受限制。也正因為此，馬可以從任一起點出發(fā)，沿著一種固定跳法走下去，最終必定跳回出發(fā)點。當然，這也需要把單個棋盤不斷擴倍延展。
　　令人驚奇的是，玉掛幻方竟然也有類似“馬步還原”的特性。即在玉掛幻方中任取一數作為起點，按馬步前進，經過8步必然回到起點數，經過的8個數字之和與幻和相等。
　?。?）國際象棋中的象走直線，長短不受限制。若在玉掛幻方中任取一數為起點，按象步前進，仍只需8步就必然回到起點數，經過的8個數字之和同樣與幻和相等。
　　反幻方
　　
　　有位美國著名科普作家寫到：“有些外星人正在做一道數學題：在4×4的正方形里填上1～16個自然數，不準重復，也不準雷同或遺漏。要求每行、每列、每條對角線上的4個數字之和都不相等，而且這些和必須是連續(xù)的自然數。假使你在它們之前先做出來了，你就可以獲得100萬美元的獎勵?！惫们也徽撨@位作家的文字是真實可信還是嘩眾取寵，其中提及的反幻方問題倒是實實在在，值得細細琢磨。
　　所謂反幻方，是指把n2個連續(xù)自然數填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及對角線上的數字之和都不相等。這與幻方的基本要求剛好相反，所以它被人們稱為“反幻方”。
　　需要說明的是，最簡單的反幻方是3階。因為把1～4填入2×2小正方形中，無論怎樣排列，行、列或對角線總會出現(xiàn)1+4=2+3，始終不能符合反幻方的要求，所以2階反幻方根本不存在。
　　稍加試驗可知，符合條件的3階反幻方屢見不鮮。有人曾做過統(tǒng)計，即使旋轉后重疊的8種幻方算作同一個，3階反幻方也有3120個。這表明，構造出3階反幻方并非難事。于是，研究者又給它們增添了更為苛刻的要求，其中比較有趣的附加條件是：填入3×3正方形中的自然數1～9必須按順序首尾相連，成為螺旋形狀。美國數學科普大師馬丁·加德納經過研究發(fā)現(xiàn)，符合條件的反幻方只有兩個（圖13、14）。鑒于“物以稀為貴”，這樣按序連接“一條龍”的螺旋反幻方又被稱為“完美反幻方”。
　　需要指出的是，迄今為止的研究表明，反幻方的制作還沒有簡單的系統(tǒng)方法。因此，更高階反幻方的構造仍具備相當難度。明白了這一點，現(xiàn)在回到前文的那則4階反幻方問題，其難度顯而易見，但也并非完全無解，至少作者給出了一個正確答案（圖15）。稍加計算不難發(fā)現(xiàn)：各行、各列以及對角線上的和數分別為30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 剛好是從29到38的10個連續(xù)自然數。正所謂，不走尋常路，也得細琢磨。
　　六角幻方
　　隨著幻方研究的深入，突破幻方常規(guī)要求的奇異幻方也開始出現(xiàn)，甚至打破了一般幻方在n×n方格中構成的限制，但仍保留了幻方最為本質也最為經典的要求，即相應連線上的各數之和必須相等。比如下面這個花費了52年光陰才與世人見面的“六角幻方”。
　　它的發(fā)明人是一位名叫克里福德·亞當斯的英國鐵路職工。亞當斯是一個鐵桿的幻方迷，從1910年就開始琢磨構造六角幻方（圖16），即把1～19填入六角形數陣中，使水平、右斜、左斜的各5根連線上的數字之和都相等。
　　
　　當亞當斯開始動手嘗試時才發(fā)現(xiàn)，完成構造并非自己想象得那么容易。于是，他認真刻苦地潛心研究，甚至隨身帶了19塊紙板剪成的小六角形，把所有空余時間都用在數字紙板的擺弄上。這一擺就擺到了1957年。40年的努力依然一無所獲，但無盡的失敗和漫長的挫折并沒有使他退卻。退休后的亞當斯仍頑強堅持、勤奮鉆研。之后，過度的勞累迫使亞當斯住進了醫(yī)院，即便躺在病床上，他也沒有停止琢磨擺弄。功夫不負有心人，亞當斯最終在醫(yī)院擺成了六角幻方，欣喜若狂的他立刻找來紙筆記下擺法。當亞當斯康復出院時，命運女神卻與他開了個殘酷的玩笑——記錄答案的紙弄丟了。倔強的亞當斯沒有灰心，他堅信，既然第一次能擺出來，就一定有成功的第二次。就這樣，亞當斯在1962年終于實現(xiàn)了自己的諾言，成功彌補了5年前的遺憾。
　　圖17就是亞當斯構造完成的六角幻方?？梢则炞C如下：水平方向上5條連線上的數字之和分別為：15+14+9=38，13+8+6+11=38，10+4+5+1+18=38，12+2+7+17=38，16+19+3=38;右斜方向上5條連線上的數字之和分別為：15+13+10=38，14+8+4+12=38，9+6+5+2+16=38，11+1+7+19=38，18+17+3=38;左斜方向上5條連線上的數字之和分別為：9+11+18=38，14+6+1+17=38，15+8+5+7+3=38，13+4+2+19=38，10+12+16=38。
　　六角幻方公之于世7年后，有一位叫阿萊爾
　　的大學生利用電子計算機，僅僅用了17秒就得到同樣的結果;同時還證實，六角幻方僅此一例。
　　兩相對照，給人們的啟發(fā)是：人類的思維雖然沒有機器來得快，但人類知難而上、永不放棄的精神是機器無法比擬的。而這才是取得一切成功的關鍵。
　　幻方的作用
　　在1977年美國發(fā)射的宇宙飛船“旅行者1號”和“旅行者2號”上，除了攜帶有向外星人致意的問候訊號外，還載有一些圖片，其中就有代表人類文明的勾股定理和4階幻方圖?？茖W家相信，這些簡明扼要、一目了然的圖片，應該可以超越語言和文字的障礙，與外星生命進行交流和溝通。
　　幻方能將抽象枯燥的數字排列后形成奇特現(xiàn)象或規(guī)律，它是如此形象生動、趣味盎然，既直觀通俗，又引人入勝。時常操練這種妙趣橫生的思維游戲，不僅可以強化對數字的深刻理解，培養(yǎng)學習數學的興趣;而且，可以開發(fā)智力，拓寬思路。
　　隨著社會的進步、科學技術水平的提高和國際間文化的交流，各國數學家都先后開始了對幻方結構的研究，并提煉出其中的數學內涵和本質。這就使原本別具一格的“思維體操”上升到數學學問的層次。
　　專業(yè)人士逐漸發(fā)現(xiàn)，幻方同現(xiàn)代數學的一些分支如群論、組合分析等有關。到了近代，幻方已經成為組合數學研究中一個有趣課題。組合數學是近現(xiàn)代數學學科的一個新分支，它一般研究有限個元素在某些事先約定的條件下，如何排成一些有規(guī)律的集合或圖案等問題，幻方便屬于組合數學的范疇。特別是從電子計算機出現(xiàn)之后，幻方已經在圖論、程序設計、實驗設計、對策論、人工智能等諸多方面得到了廣泛的應用?？梢灶A見的是，幻方的研究具有非常廣闊的美好前景。
　　【責任編輯】趙 菲